A’ togail àireamh iom-fhillte gu cumhachd nàdarra

Anns an fhoillseachadh seo, beachdaichidh sinn air mar a ghabhas àireamh iom-fhillte àrdachadh gu cumhachd (a’ gabhail a-steach cleachdadh foirmle De Moivre). An cois an stuth teòiridheach tha eisimpleirean airson tuigse nas fheàrr.

A’ togail àireamh iom-fhillte gu cumhachd

An toiseach, cuimhnich gu bheil an fhoirm choitcheann aig àireamh iom-fhillte: z = a + bi (cruth ailseabra).

A-nis is urrainn dhuinn a dhol air adhart gu dìreach gu fuasgladh na duilgheadas.

Àireamh ceàrnagach

Faodaidh sinn an ìre a riochdachadh mar toradh de na h-aon fhactaran, agus an uairsin lorg an toradh aca (fhad ‘s a tha sinn a’ cuimhneachadh sin i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Example 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9+15i+15i+25i² = -16+30i

Faodaidh tu cuideachd a chleachdadh, is e sin ceàrnag an t-suim:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2ab - b²

Note: San aon dòigh, ma tha sin riatanach, gheibhear foirmlean airson ceàrnag an eadar-dhealachaidh, ciùb an t-suim / eadar-dhealachadh, msaa.

Nmh ìre

Àrdaich àireamh iom-fhillte z ann an còir n mòran nas fhasa ma tha e air a riochdachadh ann an cruth trigonometric.

Cuimhnich gu bheil, san fharsaingeachd, comharradh àireamh a 'coimhead mar seo: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Airson mìneachadh, faodaidh tu a chleachdadh Foirmle De Moivre (mar sin air ainmeachadh às deidh an neach-matamataig Sasannach Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ)))

Gheibhear am foirmle le bhith a’ sgrìobhadh ann an cruth trigonometric (tha na modalan air an iomadachadh, agus tha na h-argamaidean air an cur ris).

Eisimpleir 2

Àrdaich àireamh iom-fhillte z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) gus an ochdamh ìre.

Solution

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35°))) = 256 ⋅ (cos 280 ° + i sin 280 °).